Cerpen Pesan Rindu untuk Ayah

Pesan Rindu untuk Ayah
Di pagi hari nan cerah seorang anak perempuan berada pada perkarangan rumah membantu ibunya membersihkan pekarangan. Anak perempuan itu bernama putri, putri seorang anak yatim, dia di tinggal ayah tercinta ketika berusia 1 tahun, karena kecelakaan maut pada bahu jalan km 15 tol cipularang. Putri kini berusia 6 tahun dan telah siap untuk bersekolah pada sebuah sekolah negeri di dekat rumahnya. Pada hari pertama sekolah putrid mempersiapkan diri dan peralatan sekolah yang di gunakan. Ibunya sangat senang melihat anaknya kini menginjak bangku sekolah. “nak, ini bekal untukmu dan ini uang jajan untukmu”,ujar ibu kepada putri. “ia bunda terimakasih”, jawab putri dengan hati gembira. Pada hari pertama putri di antar ibu hingga ke dalam kelas. Lingkungan baru membuat putri harus beradaptasi . ketika lonceng berbunyi semua anak menuju halaman depan kelas untuk berbaris. Disana ia melihat seorang wanita berpakaian coklat muda dengan menggunakan kerudung dengan warna sama seperti pakaian dan sepatu berwarna hitam, “Selamat pagi anak-anak, saya bu Aminah walikelas dan guru untuk kalian”, ujar wanita tersebut. Putri memperhatikan guru barunya. Seluruh murid masuk menuju kelas dan para orang tua berada di gerbang sekolah menunggu anak-anak mereka. Pada hari pertama sekolah hanya ada tahap perkenalan dan tatap muka sehingga waktu berlangsung hanya 30 menit. “kita akhiri tahap perkenalan kita, ayo bereskan buku kalian”, ujar bu guru. Ketika buku sudah di bereskan semua murid termasuk putri keluar kelas secara teratur, putri berlari menuju ibunya yang berada di gerbang sekolah. Putri terlihat bahagia hari ini. “Bunda”, ujar putri “ia anakku”, jawab sang ibu. “ayo nak, kita pulang nanti ceritakan pada ibu ya pengalamanmu di kelas tadi”, ujar ibu kepada putri “ia bunda”, jawab putri dengan menunjukkan senyum bahagianya hari itu. Sepanjang jalan putri melihat teman-teman lainnya di jemput oleh kedua Ayah dan Ibu mereka, melihat hal itu putri sangat sedih, “Bunda, apa Ayah memperhatikan putri dari sana?”, Tanya putri “pasti nak, Ayahmu pasti selalu mendoakan dirimu agar menjadi anak yang baik dan cerdas”, jawab sang ibu. Setiba di rumah putri menceritakan pengalamannya di kelas, sang ibu melihatnya menjadi sangat bahagia. “Ya Allah, lindungi anakku dari segala macam kejahatan dan jadikanlah dia anak yang sholeha”, doa sang ibu dalam hati. Usai menceritakan pengalamannya, putri membereskan buku pelajaran yang akan ia bawa untuk esok hari, sedangkan ibunya pergi ke dapur untuk mempersiapkan makan siang untuk mereka. Bu Sinta merasa sangat bahagia saat putrinya bahagia “Mas kini putri kita telah menginjakkan kakinya pada bangku sekolah dasar, semoga kelak ia akan menjadi anak yang berguna bagi nusa dan bangsa”, ujar sang ibu dalam hati. “Ya Allah berikanlah hamba umur untuk melihat putri hamba menjadi sukses dan berguna bagi nusa dan bangsa”, doa sang ibu “ibu-ibu putri main dulu ya sebentar ke rumah rani”, ujar putri meminta izin kepada ibunya untuk bermain. Ketika di perjalanan putri bertemu dengan jono bersama teman-temannya. “hai teman-teman liat deh ada putri anak yang tidak punya ayah”, ujar jono pada teman-temannya mendengar hal itu putri berlari kencang kea rah rumah rani.” Assalamualaikum rani “, ucap salam putri “waalaikumsalam putri, ayo masuk “, jawab rani. “Kenapa put kok kamu murung? Pasti tadi bertemu jono ya?”, Tanya rani. “putri hanya menganggukan kepalanya. rani pun segera mengajaknya bermain agar putri tak merasa sedih. Akhirnya mereka berdua bermain sangat riang sehingga putri berangsur-angsur dapat melupakan rasa sedihnya tadi.
Bersambung………

Suku Banyak

A. Suku Banyak (Polinom) adalah
Bentuk Umum :
dimana : adalah konstanta, n bilangan cacah.
Pangkat tertinggi x menyatakan derajat suku banyak.
Contoh :

B. Menghitung Suku Banyak/Nilai Suku Banyak
Misal :

Cara Menghitung :

1. Dengan Substitusi
Jika , maka nilai suku banyak tersebut x = -1 atau f (-1) .

2. Dengan pembagian sistem horner
Jika adalah suku banyak, maka f (h) diperoleh dengan cara berikut :

C. Pembagian Suku Banyak
Secara matematis dapat ditulis :

* Jika pembaginya fungsi linier, maka hasil bagi dan sisanya dapat dicari dengan cara metode pembagian sintetis Horner
* Jika pembaginya bukan linier dan tidak dapat diuraikan maka digunakan metode identitas.

Contoh:
Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak:dengan x -1 dengan menggunakan metode sintesis Horner!
Jawab :
Pembagian adalah (x-1), berarti k = 1
Kita gunakan metode sintetik berikut:

Dari bagan diatas terlihat bahwa hasil bagi adalah (x-1) dan sisa 40

D. Teorema Sisa

1. Suatu suku banyak f ( x ) jika dibagi ( x – a ) maka sisanya = f ( a )
2. Suatu suku banyak f( x ) jika dibagi ( x + a) maka sisanya f (-a)
3. Suatu suku banyak f ( x ) jika dibagi (ax – b) maka sisanya =
4. Suatu suku banyak f ( x ) habis dibagi (x – a) maka f (a) = 0

E. Teorema Faktor

1. Jika pada suku banyak f (x) berlaku f (a) = 0 dan f (b) = 0 maka f (c) = 0 maka f (x) habis dibagi (x – a)(x – b)(x – c).
2. Jika (x – a) adalah faktor dari f (x) maka x = a adalah akar dari f (x).
3. Jika f (x) dibagi oleh (x – a)(x – b) maka sisanya :
4. Jika f (x) dibagi oleh (x – a)(x – b)(x – c) maka sisanya : 

PERSAMAAN PARABOLA

PERSAMAAN PARABOLA
Definisi Parabola
Diberikan suatu titik tertentu f dan garis tertentu D dalam bidang, suatu parabola adalah himpunan semua titik (x, y) sedemikian sehingga jarak antara f dan (x, y) sama dengan jarak antara D dan (x, y). Titik f disebut sebagai fokus parabola dan garis D disebut sebagai direktriks.






Persamaan umum dari suatu parabola dapat diperoleh dengan mengkombinasikan definisi di atas dan rumus jarak. Dengan tidak mengurangi keumuman, kita dapat menganggap parabola yang ditunjukkan pada gambar di atas memiliki titik puncak di (0, 0) dan memiliki titik fokus di (0, p). Seperti yang ditunjukkan oleh gambar di bawah, parabola yang dimaksud memiliki direktriks dengan persamaan y = –p , sehingga semua titik pada D dapat dituliskan sebagai (x, –p). 





Dengan menggunakan rumus jarak dan menerapkan definisi bahwa d₁ = d₂, kita mendapatkan, 





Persamaan terakhir di atas disebut persamaan bentuk fokus-direktriks dari suatu parabola vertikal dengan titik puncak di (0, 0). Jika parabola di atas diputar sehingga terbuka ke kanan, maka kita akan mendapatkan suatu parabola horizontal dengan titik puncak di (0, 0), dan persamaannya adalah y² = 4px.

Persamaan Parabola dalam Bentuk Fokus-Direktriks
Suatu parabola vertikal memiliki persamaan dalam bentuk fokus-direktriks: x² = 4py, yang memiliki fokus di (0, p) dan dengan direktriks: y = –p. Jika p > 0, parabola tersebut akan terbuka ke atas. Jika p < 0, parabola tersebut akan terbuka ke bawah.
Suatu parabola horizontal memiliki persamaan dalam bentuk fokus-direktriks: y² = 4px, yang memiliki fokus di (p, 0) dan dengan direktriks: x = –p. Jika p > 0, parabola tersebut akan terbuka ke kanan. Jika p < 0, parabola tersebut akan terbuka ke kiri.
Untuk lebih memahami mengenai persamaan suatu parabola dalam bentuk fokus-direktriks, perhatikan contoh berikut.

Contoh 1: Menentukan Fokus dan Direktriks dari suatu Parabola
Tentukan titik puncak, fokus, dan direktris dari parabola yang didefinisikan oleh persamaan x² = –12y. Kemudian gambarkan grafiknya, disertai dengan fokus dan direktrisnya.
Pembahasan Karena hanya suku-x yang dikuadratkan dan tidak ada pergeseran yang diterapkan, maka parabola tersebut merupakan parabola vertikal dengan titik puncak di (0, 0). Dengan membandingkan persamaan yang diberikan dengan persamaan umum parabola bentuk fokus-direktriks kita dapat menentukan nilai p:




Karena p = –3 (p < 0), maka parabola tersebut terbuka ke bawah, dengan titik fokus di (0, –3) dan direktriksnya y = 3. Untuk menggambar grafiknya, kita perlu beberapa titik tambahan yang dilalui oleh parabola tersebut. Karena 36 = 6² dapat dibagi oleh 12, maka kita dapat mensubstitusikan x = 6 dan x = –6, dan menghasilkan titik-titik (6, –3) dan (–6, –3). Sehingga grafik dari parabola tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.





Dari grafik di atas, kita dapat mengetahui bahwa garis x = 0 merupakan sumbu simetri dari grafik parabola yang diberikan.

Sebagai titik-titik alternatif dalam menggambar grafik parabola, kita dapat menggunakan apa yang disebut tali busur fokus dari parabola. Serupa dengan elips dan hiperbola, tali busur fokus adalah ruas garis yang melalui fokus, sejajar dengan direktriks, dan titik-titik ujungnya terletak pada grafik. Dengan menggunakan definisi dari parabola, jarak horizontal dari f ke (x, y) adalah 2p. Karena d₁ = d₂, maka ruas garis yang sejajar dengan direktriks dari fokus ke grafik memiliki panjang |2p|, dan panjang tali busur fokus dari sembarang parabola adalah |4p|.
Dan akhirnya, jika titik puncak dari suatu parabola vertikal digeser ke (h, k), maka persamaan dari parabola tersebut akan menjadi (x ± h)2 = 4p(y ± k). Seperti pada keluarga irisan kerucut lainnya, pergeseran vertikal dan horizontalnya berlawanan dengan tandanya (positif atau negatif).

Contoh 2: Menentukan Fokus dan Direktriks dari suatu Parabola
Tentukan titik puncak, fokus, dan direktriks dari persamaan parabola yang diberikan, kemudian gambarkan grafiknya, disertai dengan fokus dan direktriksnya: x² – 6x + 12y – 15 = 0.
Pembahasan Karena hanya suku-x yang dikuadratkan, maka grafik dari persamaan tersebut berbentuk parabola vertikal. Untuk menentukan kecekungan, titik puncak, fokus, dan direktriks, kita terlebih dulu melengkapkan kuadrat dalam x dan membandingkannya dengan persamaan bentuk fokus-direktriks dengan pergeseran.




Dari persamaan yang dihasilkan, kita dapat melihat bahwa grafiknya merupakan suatu parabola yang digeser ke kanan sejauh 3 satuan dan ke atas sejauh 2 satuan. Oleh karena itu, semua unsur dari parabola tersebut juga akan bergeser. Karena kita mendapatkan 4p = –12, maka p = –3 (p < 0) dan parabola tersebut terbuka ke bawah. Jika parabola tersebut berada pada posisi biasa, maka titik puncaknya akan di (0, 0), fokusnya di (0, –3), dan direktriksnya y = 3. Karena parabola tersebut bergeser ke kanan sejauh 3 satuan dan ke atas sejauh 2 satuan, maka kita harus menambahkan nilai x dengan 3 dan nilai y dengan 2 dari semua unsur parabola tersebut. Sehingga titik puncaknya akan berada di (0 + 3, 0 + 2) = (3, 2), fokusnya pada (0 + 3, –3 + 2) = (3, –1), dan direktriksnya adalah y = 3 + 2 = 5. Dan akhirnya, jarak horizontal antara fokus dan grafik adalah |2p| = 6 satuan (karena |4p| = 12), sehingga memberikan titik-titik tambahan yang dilalui grafik, yaitu (–3, –1) dan (9, –1).





Dalam banyak kasus, kita perlu untuk menentukan persamaan dari parabola ketika hanya beberapa informasi yang diketahui, seperti yang dicontohkan oleh contoh 3 berikut.

Contoh 3: Menentukan Persamaan dari suatu Parabola
Tentukan persamaan dari parabola yang memiliki titik puncak (4, 4) dan fokus (4, 1). Kemudian gambarkan grafiknya dengan menggunakan persamaan dan tali busur fokusnya.
Pembahasan Karena titik puncak dan fokusnya terletak pada garis vertikal, maka parabola yang dimaksud merupakan suatu parabola vertikal yang memiliki persamaan umum (x ± h)² = 4p(y ± k). Jarak p dari fokus ke titik pusat adalah 3 satuan, dan karena fokus berada di bawah titik puncak, maka grafiknya terbuka ke bawah dan p = –3. Dengan menggunakan tali busur fokus, jarak horizontal dari fokus ke grafik adalah |2p| = |2(–3)| = 6, memberikan titik-titik (–2, 1) dan (10, 1). Titik puncaknya digeser 4 satuan ke kanan dan 4 satuan ke atas dari (0, 0), sehingga diperoleh h = 4 dan k = 4. Sehingga persamaan dari parabola tersebut adalah (x – 4)² = –12(y – 4), dengan direktriks y = 7. Grafik dari parabola tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.





Perhatikan bahwa grafik parabola di atas memiliki sumbu simetri di garis x = 4.